Контрольная работа по геометрии. 8 класс. Вариант 1. Задача 4: Найти диагонали прямоугольника ABCD, если ∠CAD = 30°, CD = 4 см.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольник ABCD. Пусть O - точка пересечения диагоналей. В прямоугольнике все углы прямые, значит ∠ADC = 90°. Рассмотрим треугольник ADC: ∠ACD = 90° - ∠CAD = 90° - 30° = 60°. Так как AO = CO, то треугольник AOC - равнобедренный, а значит ∠OAC = ∠OCA = 30°. В прямоугольнике диагонали равны: AC = BD. Рассмотрим треугольник ADC: \(\tan(\angle CAD) = \frac{CD}{AD}\). Значит \(\tan(30^\circ) = \frac{4}{AD}\), откуда \(AD = \frac{4}{\tan(30^\circ)} = 4\sqrt{3}\). По теореме Пифагора: \(AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 4^2} = \sqrt{48 + 16} = \sqrt{64} = 8\). Так как AC = BD, то BD = 8 см. Ответ: AC = 8 см, BD = 8 см.