10. Найдите значение выражения \(5^{\log_{25}49}\).

Краткое пояснение:

Для решения этого примера приведем основание логарифма (25) к тому же основанию, что и основание степени (5).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Заметим, что \( 25 = 5^2 \).
2. Шаг 2: Подставим это в логарифм: \( \log_{25}49 = \log_{5^2}49 \).
3. Шаг 3: Используем свойство логарифма \( \log_{a^m}b = \frac{1}{m} \log_{a}b \): \( \log_{5^2}49 = \frac{1}{2} \log_{5}49 \).
4. Шаг 4: Также заметим, что \( 49 = 7^2 \). Подставим это: \( \frac{1}{2} \log_{5}(7^2) \).
5. Шаг 5: Используем свойство логарифма \( \log_{a}(b^n) = n \log_{a}b \): \( \frac{1}{2} 2 \log_{5}7 = \log_{5}7 \).
6. Шаг 6: Теперь исходное выражение выглядит так: \( 5^{\log_{5}7} \).
7. Шаг 7: Применим основное логарифмическое тождество \( a^{\log_{a}b} = b \): \( 5^{\log_{5}7} = 7 \).

Ответ: 7