6. Найдите значение выражения \(\log_{0.5}0.2 + \log_{0.5}4\).

Краткое пояснение:

Для решения этого примера воспользуемся свойством логарифма произведения: \( \log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}(b c) \).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Применим свойство логарифма произведения к данному выражению: \( \log_{0.5}0.2 + \log_{0.5}4 = \log_{0.5}(0.2 4) \).
2. Шаг 2: Вычислим значение произведения внутри логарифма: \( 0.2 4 = 0.8 \).
3. Шаг 3: Теперь выражение стало: \( \log_{0.5}0.8 \).
4. Шаг 4: Представим основание \( 0.5 \) как \( \frac{1}{2} \) или \( 2^{-1} \), а аргумент \( 0.8 \) как \( \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \).
5. Шаг 5: Логарифм выглядит так: \( \log_{2^{-1}}(\frac{4}{5}) \).
6. Шаг 6: Используем формулу \( \log_{a^m}b = \frac{1}{m} \log_{a}b \): \( \log_{2^{-1}}(\frac{4}{5}) = -1 \log_{2}(\frac{4}{5}) = -\log_{2}(\frac{4}{5}) \).
7. Шаг 7: Используем свойство \( -\log_{a}b = \log_{a}(\frac{1}{b}) \): \( -\log_{2}(\frac{4}{5}) = \log_{2}(\frac{5}{4}) \).
8. Шаг 8: Это значение не упрощается к целому числу без калькулятора. Возможна ошибка в условии. Если бы аргументы были такими, чтобы произведение давало степень основания, например, \( \log_{0.5}0.25 + \log_{0.5}1 \) или \( \log_{0.5}2 + \log_{0.5}0.25 \), то решение было бы проще.

Ответ: Выражение \(\log_{0.5}0.8\) не упрощается к целому числу без использования калькулятора.