13. Найдите значение выражения \(64^{\log_{8}\sqrt[3]{3}}\).

Краткое пояснение:

Для решения этого примера необходимо привести основания степени (64) и логарифма (8) к одному основанию, а также упростить аргумент логарифма.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Заметим, что \( 64 = 8^2 \).
2. Шаг 2: Также представим \(\sqrt[3]{3}\) как \(3^{\frac{1}{3}}\).
3. Шаг 3: Подставим эти значения в выражение: \( (8^2)^{\log_{8}(3^{\frac{1}{3}})} \).
4. Шаг 4: Используем свойство степеней \( (a^m)^n = a^{mn} \): \( 8^{2 \log_{8}(3^{\frac{1}{3}})} \).
5. Шаг 5: Используем свойство логарифма \( m \log_{a}b = \log_{a}(b^m) \): \( 8^{\log_{8}((3^{\frac{1}{3}})^2)} \).
6. Шаг 6: Упростим показатель степени внутри логарифма: \( (3^{\frac{1}{3}})^2 = 3^{\frac{2}{3}} \).
7. Шаг 7: Теперь выражение: \( 8^{\log_{8}(3^{\frac{2}{3}})} \).
8. Шаг 8: Применим основное логарифмическое тождество \( a^{\log_{a}b} = b \): \( 8^{\log_{8}(3^{\frac{2}{3}})} = 3^{\frac{2}{3}} \).
9. Шаг 9: Вычислим \( 3^{\frac{2}{3}} = (3^2)^{\frac{1}{3}} = 9^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{9} \).

Ответ: \(\sqrt[3]{9}\)