Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 8. Найдите значение выражения \((1 - \log_{2}12)(1 - \log_{6}12)\).Фото задания

Ответ:

Краткое пояснение:

Для решения этого примера преобразуем выражения с логарифмами, используя свойства логарифмов и формулу перехода к новому основанию. Цель — привести логарифмы к одному основанию.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: Преобразуем \( 1 \) в логарифм с нужным основанием: \( 1 = \log_{2}2 \) и \( 1 = \log_{6}6 \).
  2. Шаг 2: Подставим это в выражение: \( (\log_{2}2 - \log_{2}12)(\log_{6}6 - \log_{6}12) \).
  3. Шаг 3: Используем свойство логарифма частного \( \log_{a}b - \log_{a}c = \log_{a}(\frac{b}{c}) \): \( (\log_{2}(\frac{2}{12}))(\log_{6}(\frac{6}{12})) \).
  4. Шаг 4: Упростим дроби: \( (\log_{2}(\frac{1}{6}))(\log_{6}(\frac{1}{2})) \).
  5. Шаг 5: Используем свойство \( \log_{a}(\frac{1}{b}) = -\log_{a}b \): \( (-\log_{2}6)(-\log_{6}2) \).
  6. Шаг 6: Произведение двух отрицательных чисел положительно: \( (\log_{2}6)(\log_{6}2) \).
  7. Шаг 7: Применим формулу перехода к новому основанию \( \log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a} \). Изменим основание второго логарифма на 2: \( \log_{6}2 = \frac{\log_{2}2}{\log_{2}6} = \frac{1}{\log_{2}6} \).
  8. Шаг 8: Подставим это обратно в выражение: \( (\log_{2}6)(\frac{1}{\log_{2}6}) \).
  9. Шаг 9: Сократим \( \log_{2}6 \): \( \frac{\log_{2}6}{\log_{2}6} = 1 \).

Ответ: 1