16) Найти общий вид первообразной для функции f(x) = 1 / cos²(3x-2)

Решение:

Общий вид первообразной \( F(x) \) для функции \( f(x) \) находится путём интегрирования: \( F(x) = \int f(x) dx \).

Нам нужно найти интеграл от \( f(x) = \frac{1}{\cos^2(3x-2)} \).

\[ F(x) = \int \frac{1}{\cos^2(3x-2)} dx \]

Мы знаем, что \( \int \frac{1}{\cos^2 u} du = \operatorname{tg} u + C \).

В нашем случае, \( u = 3x - 2 \). Чтобы применить формулу, нужно учесть производную \( u \) по \( x \), которая равна \( u' = 3 \).

Для того чтобы интеграл соответствовал табличному, мы умножим и разделим на 3:

\[ F(x) = \frac{1}{3} \int \frac{1}{\cos^2(3x-2)} \cdot 3 dx \]

Теперь подставим \( u = 3x - 2 \) и \( du = 3dx \):

\[ F(x) = \frac{1}{3} \int \frac{1}{\cos^2 u} du \]

Выполняем интегрирование:

\[ F(x) = \frac{1}{3} (\operatorname{tg} u + C) = \frac{1}{3} \operatorname{tg} u + C_1 \]

Где \( C_1 = \frac{C}{3} \) — произвольная постоянная, которую мы объединяем в одну константу \( C \).

Подставляем обратно \( u = 3x - 2 \):

\[ F(x) = \frac{1}{3} \operatorname{tg}(3x - 2) + C \]

Ответ: Общий вид первообразной: \( F(x) = \frac{1}{3} \operatorname{tg}(3x - 2) + C \).