19) Вычислить \( \int_1^3 (4x³ + 1)dx \)

Решение:

Для вычисления определённого интеграла \( \int_1^3 (4x^3 + 1)dx \) сначала найдём первообразную функции \( 4x^3 + 1 \).

Первообразная \( F(x) \) равна:

\[ F(x) = \int (4x^3 + 1) dx = 4\frac{x^4}{4} + x = x^4 + x \]

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \).

В нашем случае \( a = 1 \) и \( b = 3 \).

\[ \int_1^3 (4x^3 + 1)dx = F(3) - F(1) \]

Вычислим значения первообразной в точках \( x = 3 \) и \( x = 1 \):

• \( F(3) = (3)^4 + 3 = 81 + 3 = 84 \)
• \( F(1) = (1)^4 + 1 = 1 + 1 = 2 \)

Теперь вычтем:

\[ F(3) - F(1) = 84 - 2 = 82 \]

Ответ: \( \int_1^3 (4x^3 + 1)dx = 82 \).