18) Найти первообразную, проходящую через точку М(2; 4), для функции f(x) = x² - 4x

Решение:

Сначала найдем общий вид первообразной \( F(x) \) для функции \( f(x) = x^2 - 4x \) путём интегрирования:

\[ F(x) = \int (x^2 - 4x) dx \]\[ F(x) = \int x^2 dx - \int 4x dx \]\[ F(x) = \frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} + C \]\[ F(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + C \]

Теперь используем условие, что первообразная проходит через точку \( M(2; 4) \). Это значит, что при \( x = 2 \), \( F(x) = 4 \).

Подставляем значения в уравнение первообразной:

\[ 4 = \frac{(2)^3}{3} - 2(2)^2 + C \]\[ 4 = \frac{8}{3} - 2(4) + C \]\[ 4 = \frac{8}{3} - 8 + C \]

Теперь найдем \( C \):

\[ C = 4 + 8 - \frac{8}{3} \]\[ C = 12 - \frac{8}{3} \]\[ C = \frac{36}{3} - \frac{8}{3} \]\[ C = \frac{28}{3} \]

Подставляем найденное значение \( C \) в общий вид первообразной:

\[ F(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + \frac{28}{3} \]

Ответ: Первообразная, проходящая через точку М(2; 4), имеет вид \( F(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + \frac{28}{3} \).