17) Написать одну из первообразных для функции f(x) = 1/x - 2 cos x

Решение:

Чтобы найти первообразную для функции \( f(x) = \frac{1}{x} - 2 \cos x \), нужно проинтегрировать каждый член функции отдельно.

Общий вид первообразной \( F(x) \) равен \( \int f(x) dx \).

\[ F(x) = \int \left( \frac{1}{x} - 2 \cos x \right) dx \]

Разделим интеграл на два:

\[ F(x) = \int \frac{1}{x} dx - \int 2 \cos x dx \]

Используем табличные интегралы:

• \( \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C_1 \)
• \( \int 2 \cos x dx = 2 \int \cos x dx = 2 \sin x + C_2 \)

Объединяем результаты и константы в одну:

\[ F(x) = \ln|x| - 2 \sin x + C \]

Нам нужно написать одну из первообразных. Для этого достаточно взять \( C = 0 \).

\[ F(x) = \ln|x| - 2 \sin x \]

Ответ: Одна из первообразных: \( F(x) = \ln|x| - 2 \sin x \).