27. Найдите сумму m + n, если только один из корней уравнения x³ − 7x² + 12x = 0 также является корнем уравнений (x − 10)/(x − 4) = m/(x + 2) и (x − 12)/(x − 3) = n/(x + 2).

Разложим многочлен: \(x^3-7x^2+12x=x(x-3)(x-4)\). Его корни: 0, 3 и 4.

Второе уравнение не определено при \(x=3\), а первое — при \(x=4\). Поэтому единственный корень исходного уравнения, который может быть корнем обоих уравнений, — \(x=0\).

Подставим \(x=0\) в первое уравнение: \(\frac{-10}{-4}=\frac m2\), значит \(m=5\). Во второе: \(\frac{-12}{-3}=\frac n2\), значит \(n=8\).

Ответ: m + n = 13.