3.5.22. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 15 и 4, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Пусть \( AB=AC \) — боковые стороны, \( BC \) — основание. Точка касания окружности со стороной \( AB \) делит ее на отрезки \( AX = 15 \) и \( XB = 4 \), где \( X \) — точка касания. Тогда длина боковой стороны \( AB = AX + XB = 15 + 4 = 19 \).

Так как треугольник равнобедренный, то \( AC = AB = 19 \).

Из свойства касательных, проведенных из одной точки, следует, что отрезки от вершины \( A \) до точек касания равны, то есть \( AY = AX = 15 \), где \( Y \) — точка касания на \( AC \).

Аналогично, отрезки от вершины \( B \) до точек касания равны: \( BZ = BX = 4 \), где \( Z \) — точка касания на \( BC \).

Аналогично, отрезки от вершины \( C \) до точек касания равны: \( CZ = CY \).

Длина основания \( BC = BZ + ZC = 4 + ZC \).

Мы знаем, что \( AC = AY + YC = 15 + YC = 19 \), следовательно \( YC = 19 - 15 = 4 \).

Так как \( CZ = CY \), то \( CZ = 4 \).

Тогда основание \( BC = BZ + ZC = 4 + 4 = 8 \).

Периметр треугольника \( P = AB + AC + BC \):

\[ P = 19 + 19 + 8 = 46 \]

Ответ: 46