3.5.28. Острый угол ромба равен 60°. Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 23√3 . Найдите сторону ромба.

Решение:

Радиус вписанной окружности \( r = 23\sqrt{3} \). Высота ромба \( h \) равна удвоенному радиусу вписанной окружности:

\[ h = 2r = 2 \cdot 23\sqrt{3} = 46\sqrt{3} \]

Высота ромба \( h \) связана с его стороной \( a \) и острым углом \( \alpha \) соотношением \( h = a \sin \alpha \).

Острый угол \( \alpha = 60^\circ \).

\[ 46\sqrt{3} = a \cdot \sin 60^\circ \]

\[ 46\sqrt{3} = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Выразим сторону \( a \):

\[ a = \frac{46\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2} = 46\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 46 \cdot 2 = 92 \]

Ответ: 92