3.5.30. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 12, средняя линия равна 2. Найдите боковую сторону трапеции, если известно, что центр описанной окружности лежит на боковой стороне.

Решение:

Если около трапеции можно описать окружность, то она равнобедренная. Если центр описанной окружности лежит на боковой стороне, то эта боковая сторона является диаметром описанной окружности.

Пусть \( a \) и \( b \) — основания трапеции, \( c \) — боковая сторона. Периметр \( P = 2a + 2c = 12 \).

Средняя линия \( m = \frac{a+b}{2} = 2 \). Отсюда \( a+b = 4 \).

Из периметра: \( 2(a+b) + 2c = 12 \). Подставим \( a+b=4 \):

\[ 2(4) + 2c = 12 \]

\[ 8 + 2c = 12 \]

\[ 2c = 4 \]

\[ c = 2 \]

Боковая сторона трапеции равна 2.

Ответ: 2