4.77. \(9^x-5\cdot3^{x+1}+54=0\).

Положим \(t=3^x>0\). Тогда \(9^x=t^2\), \(3^{x+1}=3t\). Получаем \(t^2-15t+54=0\).

\((t-6)(t-9)=0\). Следовательно, \(3^x=6\) или \(3^x=9\), откуда \(x=\log_3 6\) или \(x=2\).

Ответ: \(x=\log_3 6,\ 2\).