166., a) 2 cos²x+sinx+1=0;

Решим уравнение 2 cos²x + sin x + 1 = 0.

Используем основное тригонометрическое тождество: sin²x + cos²x = 1, тогда cos²x = 1 - sin²x.

Уравнение примет вид: 2(1 - sin²x) + sin x + 1 = 0,

2 - 2sin²x + sin x + 1 = 0,

-2sin²x + sin x + 3 = 0,

2sin²x - sin x - 3 = 0.

Пусть sin x = t, тогда уравнение примет вид 2t² - t - 3 = 0.

Вычислим дискриминант: D = (-1)² – 4 · 2 · (-3) = 1 + 24 = 25.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня:

$$t_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2};$$

$$t_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1.$$

Следовательно:

sin x = 3/2 - нет решений, так как |sin x| ≤ 1.

sin x = -1, x = -π/2 + 2πk, k ∈ Z.

Ответ: x = -π/2 + 2πk, k ∈ Z.