r) 8 sin²x + cosx+1=0.

Решим уравнение 8 sin²x + cos x + 1 = 0.

Используем основное тригонометрическое тождество: sin²x + cos²x = 1, тогда sin²x = 1 - cos²x.

Уравнение примет вид: 8(1 - cos²x) + cos x + 1 = 0,

8 - 8cos²x + cos x + 1 = 0,

-8cos²x + cos x + 9 = 0,

8cos²x - cos x - 9 = 0.

Пусть cos x = t, тогда уравнение примет вид 8t² - t - 9 = 0.

Вычислим дискриминант: D = (-1)² – 4 · 8 · (-9) = 1 + 288 = 289.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня:

$$t_1 = \frac{1 + \sqrt{289}}{2 \cdot 8} = \frac{1 + 17}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8};$$

$$t_2 = \frac{1 - \sqrt{289}}{2 \cdot 8} = \frac{1 - 17}{16} = \frac{-16}{16} = -1.$$

Следовательно:

cos x = 9/8 - нет решений, так как |cos x| ≤ 1.

cos x = -1, x = π + 2πk, k ∈ Z.

Ответ: x = π + 2πk, k ∈ Z.