r) 2 ctg x-3 tgx+5=0.

Решим уравнение 2 ctg x - 3 tgx + 5 = 0.

2/tg x - 3 tg x + 5 = 0,

(2 - 3 tg²x + 5 tg x) / tg x = 0,

-3 tg²x + 5 tg x + 2 = 0,

3 tg²x - 5 tg x - 2 = 0.

Пусть tg x = t, тогда уравнение примет вид 3t² - 5t - 2 = 0.

Вычислим дискриминант: D = (-5)² – 4 · 3 · (-2) = 25 + 24 = 49.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня:

$$t_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2;$$

$$t_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}.$$

Следовательно:

tg x = 2, x = arctg(2) + πn, n ∈ Z.

tg x = -1/3, x = arctg(-1/3) + πk, x = -arctg(1/3) + πk, k ∈ Z.

Ответ: x = arctg(2) + πn, x = -arctg(1/3) + πk, n, k ∈ Z.