6) tg x-2 ctg x+1=0;

Решим уравнение tg x - 2 ctg x + 1 = 0.

tg x - 2/tg x + 1 = 0,

(tg²x + tg x - 2) / tg x = 0,

tg²x + tg x - 2 = 0.

Пусть tg x = t, тогда уравнение примет вид t² + t - 2 = 0.

Вычислим дискриминант: D = 1² – 4 · 1 · (-2) = 1 + 8 = 9.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня:

$$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1;$$

$$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2.$$

Следовательно:

tg x = 1, x = π/4 + πn, n ∈ Z.

tg x = -2, x = arctg(-2) + πk, x = -arctg(2) + πk, k ∈ Z.

Ответ: x = π/4 + πn, x = -arctg(2) + πk, n, k ∈ Z.