\(\log_2(\sin 2x-2\cos x+4)=2+\log_2(1+\frac14\cos x)\).

Объединяем правую часть: \(2+\log_2(1+\frac14\cos x)=\log_2(4+\cos x)\). Приравниваем аргументы: \(\sin 2x-2\cos x+4=4+\cos x\), значит, \(\sin 2x=3\cos x\). Используя \(\sin 2x=2\sin x\cos x\), имеем \(\cos x(2\sin x-3)=0\). Второй множитель не может быть нулём, поэтому \(\cos x=0\). Аргументы логарифмов при этих значениях положительны.

Ответ: \(x=\frac\pi2+\pi k,\ k\in\mathbb Z\).