\(\operatorname{ctg}(\pi\cos x)=0\).

Котангенс равен нулю, когда его аргумент равен \(\frac\pi2+\pi k\). Значит, \(\pi\cos x=\frac\pi2+\pi k\), то есть \(\cos x=\frac12+k\). В диапазон косинуса попадают значения \(\frac12\) и \(-\frac12\).

Ответ: \(x=2\pi k\pm\frac\pi3\) или \(x=2\pi k\pm\frac{2\pi}{3},\ k\in\mathbb Z\).