\(\operatorname{tg}\left(\frac{2\sqrt3\pi}{9}\cos x\right)=-\sqrt3\).

Тангенс равен \(-\sqrt3\), когда его аргумент равен \(-\frac\pi3+\pi k\). Тогда \(\cos x=\frac{9}{2\sqrt3}(k-\frac13)\). Условие \(|\cos x|\le1\) оставляет только \(k=0\), откуда \(\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}\).

Ответ: \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n\) или \(x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\).