267. Найдите, при каких значениях х трёхчлен: a) 2x² + 5x + 3 принимает положительные значения;

a) Рассмотрим трехчлен $$2x^2 + 5x + 3$$.

Чтобы трехчлен принимал положительные значения, необходимо решить неравенство:

$$2x^2 + 5x + 3 > 0$$.

Найдем дискриминант квадратного уравнения $$2x^2 + 5x + 3 = 0$$:

$$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$$.

Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$,

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 1}{4} = \frac{-6}{4} = -1,5$$.

Решением неравенства $$2x^2 + 5x + 3 > 0$$ является $$x \in (-\infty; -1,5) \cup (-1; +\infty)$$.

Ответ: $$x \in (-\infty; -1,5) \cup (-1; +\infty)$$