1) \(\frac{5\sin x+1}{\sqrt{\operatorname{tg}x}}=0\).

Для области определения требуется \(\operatorname{tg}x>0\). Дробь равна нулю, когда \(5\sin x+1=0\), то есть \(\sin x=-\frac15\). При отрицательном синусе и положительном тангенсе косинус тоже отрицателен, поэтому решения лежат в III четверти.

Следовательно, \(x=\pi+\arcsin\frac15+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\).

Ответ: \(x=\pi+\arcsin\frac15+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\).