3) \(\operatorname{tg}(\frac{2\sqrt3\pi}{9}\cos x)=-\sqrt3\).

Тангенс равен \(-\sqrt3\), когда его аргумент равен \(-\frac{\pi}{3}+\pi k\). Поэтому \(\frac{2\sqrt3\pi}{9}\cos x=-\frac{\pi}{3}+\pi k\), откуда \(\cos x=\frac{3k-1}{2\sqrt3}\).

Условие \(|\cos x|\le1\) даёт \(|3k-1|\le2\sqrt3\); целые значения \(k\) — \(-1,0,1\). Соответствующие значения косинуса: \(-\frac{2}{\sqrt3}\), \(-\frac1{2\sqrt3}\), \(\frac1{\sqrt3}\). Первое недопустимо, остаются два последних.

Ответ: \(\cos x=-\frac1{2\sqrt3}\) или \(\cos x=\frac1{\sqrt3}\).