29A. \( \left(\frac{1}{6}\right)^{2x} + 5 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^x - 6 = 0 \)

Решение:

1. Сделаем замену переменной: Пусть $$y = \left(\frac{1}{6}\right)^x$$. Тогда \( \left(\frac{1}{6}\right)^{2x} = \left(\left(\frac{1}{6}\right)^x\right)^2 = y^2 \).
2. Уравнение примет вид: \( y^2 + 5y - 6 = 0 \)
3. Решаем квадратное уравнение: \( D = 5^2 - 4(1)(-6) = 25 + 24 = 49 \)
4. Находим корни: \( y_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-5+7}{2} = 1 \), \( y_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-5-7}{2} = -6 \)
5. Возвращаемся к замене:
• \( \left(\frac{1}{6}\right)^x = 1 \Rightarrow \left(\frac{1}{6}\right)^x = \left(\frac{1}{6}\right)^0 \Rightarrow x = 0 \)
• \( \left(\frac{1}{6}\right)^x = -6 \). Это уравнение не имеет решений, так как степень положительного числа не может быть отрицательной.

Ответ: x = 0