36A. $$18^x - 8 \cdot 6^x - 9 \cdot 2^x = 0$$

Решение:

1. Разложим основания на простые множители: \( 18^x = (2 · 3^2)^x = 2^x \cdot (3^2)^x = 2^x \cdot 9^x \)
2. Перепишем уравнение: \( 2^x \cdot 9^x - 8 \cdot (2 · 3)^x - 9 · 2^x = 0 \)
3. Развернем $$6^x$$: \( 2^x \cdot 9^x - 8 \cdot 2^x \cdot 3^x - 9 · 2^x = 0 \)
4. Разделим обе части на $$2^x$$ (так как $$2^x \ne 0$$): \( 9^x - 8 · 3^x - 9 = 0 \)
5. Преобразуем $$9^x$$ как $$(3^x)^2$$: \( (3^x)^2 - 8 · 3^x - 9 = 0 \)
6. Сделаем замену переменной: Пусть $$y = 3^x$$. Тогда уравнение примет вид: \( y^2 - 8y - 9 = 0 \)
7. Решаем квадратное уравнение: \( D = (-8)^2 - 4(1)(-9) = 64 + 36 = 100 \)
8. Находим корни: \( y_1 = \frac{8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{8+10}{2} = 9 \), \( y_2 = \frac{8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{8-10}{2} = -1 \)
9. Возвращаемся к замене:
• $$3^x = 9 \Rightarrow 3^x = 3^2 \Rightarrow x = 2$$
• $$3^x = -1$$. Это уравнение не имеет решений, так как степень положительного числа не может быть отрицательной.

Ответ: x = 2