6. Выполните действие: в) \(\frac{(a+b)^2}{a^2+ab} + \frac{(a-b)^2}{a^2-ab}\)

Решение:

Чтобы сложить дроби, приведём их к общему знаменателю.

1. Разложим знаменатели на множители: \( a^2+ab = a(a+b) \) и \( a^2-ab = a(a-b) \).
2. Общий знаменатель: \( a(a+b)(a-b) \).
3. Приведём дроби к общему знаменателю: \[ \frac{(a+b)^2 · (a-b)}{a(a+b)(a-b)} + \frac{(a-b)^2 · (a+b)}{a(a-b)(a+b)} = \frac{(a+b)^3 + (a-b)^3}{a(a^2-b^2)} \]
4. Воспользуемся формулами суммы и разности кубов: \( (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \) и \( (a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \).
5. Сложим числители: \[ \frac{(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) + (a^3-3a^2b+3ab^2-b^3)}{a(a^2-b^2)} = \frac{2a^3+6ab^2}{a(a^2-b^2)} \]
6. Вынесем \( 2a \) в числителе: \[ \frac{2a(a^2+3b^2)}{a(a^2-b^2)} \]
7. Сократим дробь: \[ \frac{2(a^2+3b^2)}{a^2-b^2} \]

Ответ: \(\frac{2(a^2+3b^2)}{a^2-b^2}\).