Решите неравенство: \( -\frac{18}{x^2 - 6x - 7} \le 0 \).

Решение:

Для того чтобы дробь была отрицательной или равной нулю, числитель должен быть отрицательным (или нулем), а знаменатель — положительным (или не равным нулю).

В нашем случае числитель \( -18 \) отрицателен.

Следовательно, нам нужно, чтобы знаменатель \( x^2 - 6x - 7 \) был положительным:

\[ x^2 - 6x - 7 > 0 \]

Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 - 6x - 7 = 0 \).

Дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 \]

Корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 8}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 8}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Парабола \( y = x^2 - 6x - 7 \) ветвями вверх, поэтому \( x^2 - 6x - 7 > 0 \) при \( x < -1 \) или \( x > 7 \).

Ответ: \( x \in (-\infty, -1) \cup (7, \infty) \).