Решите неравенство: \( (x-11)^2 < \sqrt{5}(x-11) \).

Решение:

Перенесём все члены в левую часть:

\[ (x-11)^2 - \sqrt{5}(x-11) < 0 \]

Вынесем общий множитель \( (x-11) \):

\[ (x-11) [ (x-11) - \sqrt{5} ] < 0 \]

\[ (x-11) (x - 11 - \sqrt{5}) < 0 \]

Отметим корни \( x=11 \) и \( x = 11 + \sqrt{5} \) на числовой прямой. Так как \( 11 + \sqrt{5} \) больше \( 11 \), интервалы будут располагаться следующим образом:

\[ (-\infty, 11) \quad (11, 11+\sqrt{5}) \quad (11+\sqrt{5}, \infty) \]

Проверим знаки произведения в каждом интервале:

1. Для \( x < 11 \) (например, \( x=0 \)): \( (0-11)(0 - 11 - \sqrt{5}) = (-11)(-11-\sqrt{5}) = (+) \)

2. Для \( 11 < x < 11+\sqrt{5} \) (например, \( x=11.1 \)): \( (11.1-11)(11.1 - 11 - \sqrt{5}) = (0.1)(0.1 - \sqrt{5}) = (-) \)

3. Для \( x > 11+\sqrt{5} \) (например, \( x=14 \)): \( (14-11)(14 - 11 - \sqrt{5}) = (3)(3-\sqrt{5}) = (+) \)

Нам нужно, чтобы произведение было отрицательным. Это соответствует интервалу \( (11, 11+\sqrt{5}) \).

Ответ: \( (11, 11+\sqrt{5}) \).