Решите неравенство: \( \frac{-31}{(x+4)^2 - 11} \ge 0 \).

Решение:

Для того чтобы дробь была положительной или равной нулю, числитель должен быть положительным (или нулем), а знаменатель — положительным (или не равным нулю), ИЛИ числитель должен быть отрицательным (или нулем), а знаменатель — отрицательным (или не равным нулю).

В нашем случае числитель \( -31 \) отрицателен.

Следовательно, нам нужно, чтобы знаменатель \( (x+4)^2 - 11 \) был отрицательным:

\[ (x+4)^2 - 11 < 0 \]

\[ (x+4)^2 < 11 \]

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

\[ -\sqrt{11} < x+4 < \sqrt{11} \]

Вычтем 4 из всех частей неравенства:

\[ -4 - \sqrt{11} < x < -4 + \sqrt{11} \]

Ответ: \( x \in (-4 - \sqrt{11}, -4 + \sqrt{11}) \).