Решите неравенство: \( -\frac{6}{x^2 + 4x - 77} \le 0 \).

Решение:

Для того чтобы дробь была отрицательной или равной нулю, числитель должен быть отрицательным (или нулем), а знаменатель — положительным (или не равным нулю).

В нашем случае числитель \( -6 \) отрицателен.

Следовательно, нам нужно, чтобы знаменатель \( x^2 + 4x - 77 \) был положительным:

\[ x^2 + 4x - 77 > 0 \]

Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 + 4x - 77 = 0 \).

Дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-77) = 16 + 308 = 324 \]

Корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 18}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 18}{2 \cdot 1} = \frac{-22}{2} = -11 \]

Парабола \( y = x^2 + 4x - 77 \) ветвями вверх, поэтому \( x^2 + 4x - 77 > 0 \) при \( x < -11 \) или \( x > 7 \).

Ответ: \( x \in (-\infty, -11) \cup (7, \infty) \).