Решите неравенство: \( (x-7)^2 < \sqrt{15}(x-7) \).

Решение:

Перенесём все члены в левую часть:

\[ (x-7)^2 - \sqrt{15}(x-7) < 0 \]

Вынесем общий множитель \( (x-7) \):

\[ (x-7) [ (x-7) - \sqrt{15} ] < 0 \]

\[ (x-7) (x - 7 - \sqrt{15}) < 0 \]

Отметим корни \( x=7 \) и \( x = 7 + \sqrt{15} \) на числовой прямой. Так как \( 7 + \sqrt{15} \) больше \( 7 \), интервалы будут располагаться следующим образом:

\[ (-\infty, 7) \quad (7, 7+\sqrt{15}) \quad (7+\sqrt{15}, \infty) \]

Проверим знаки произведения в каждом интервале:

1. Для \( x < 7 \) (например, \( x=0 \)): \( (0-7)(0 - 7 - \sqrt{15}) = (-7)(-7-\sqrt{15}) = (+) \)

2. Для \( 7 < x < 7+\sqrt{15} \) (например, \( x=7.1 \)): \( (7.1-7)(7.1 - 7 - \sqrt{15}) = (0.1)(0.1 - \sqrt{15}) = (-) \)

3. Для \( x > 7+\sqrt{15} \) (например, \( x=11 \)): \( (11-7)(11 - 7 - \sqrt{15}) = (4)(4-\sqrt{15}) = (+) \)

Нам нужно, чтобы произведение было отрицательным. Это соответствует интервалу \( (7, 7+\sqrt{15}) \).

Ответ: \( (7, 7+\sqrt{15}) \).