Решите неравенство: \( (x-2)^2 < \sqrt{3}(x-2) \).

Решение:

Перенесём все члены в левую часть:

\[ (x-2)^2 - \sqrt{3}(x-2) < 0 \]

Вынесем общий множитель \( (x-2) \):

\[ (x-2) [ (x-2) - \sqrt{3} ] < 0 \]

\[ (x-2) (x - 2 - \sqrt{3}) < 0 \]

Отметим корни \( x=2 \) и \( x = 2 + \sqrt{3} \) на числовой прямой. Так как \( 2 + \sqrt{3} \) больше \( 2 \), интервалы будут располагаться следующим образом:

\[ (-\infty, 2) \quad (2, 2+\sqrt{3}) \quad (2+\sqrt{3}, \infty) \]

Проверим знаки произведения в каждом интервале:

1. Для \( x < 2 \) (например, \( x=0 \)): \( (0-2)(0 - 2 - \sqrt{3}) = (-2)(-2-\sqrt{3}) = (+) \)

2. Для \( 2 < x < 2+\sqrt{3} \) (например, \( x=2.1 \)): \( (2.1-2)(2.1 - 2 - \sqrt{3}) = (0.1)(0.1 - \sqrt{3}) = (-) \)

3. Для \( x > 2+\sqrt{3} \) (например, \( x=4 \)): \( (4-2)(4 - 2 - \sqrt{3}) = (2)(2-\sqrt{3}) = (+) \)

Нам нужно, чтобы произведение было отрицательным. Это соответствует интервалу \( (2, 2+\sqrt{3}) \).

Ответ: \( (2, 2+\sqrt{3}) \).