1084 Вычислить cos 2а, если sin a = 1/3.

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \) для нахождения \( \cos a \).

\( \cos^2 a = 1 - \sin^2 a = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \)

\( \cos a = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \)

Используем формулу косинуса двойного угла \( \cos 2a = 1 - 2\sin^2 a \).

\[ \cos 2a = 1 - 2 \cdot (\frac{1}{3})^2 = 1 - 2 \cdot \frac{1}{9} = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9} \]

Ответ: \( \frac{7}{9} \).