1085 Найти значение выражения sin(11π/3 + cos 690° - cos 19π/3).

Решение:

Преобразуем каждый член выражения:

1. \( \sin(\frac{11\pi}{3}) \): \( \frac{11\pi}{3} = 3\pi + \frac{2\pi}{3} \). \( \sin(\frac{11\pi}{3}) = \sin(3\pi + \frac{2\pi}{3}) = \sin(\pi + \frac{2\pi}{3}) = -\sin(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
2. \( \cos(690^{\circ}) \): \( 690^{\circ} = 360^{\circ} + 330^{\circ} \). \( \cos(690^{\circ}) = \cos(330^{\circ}) = \cos(-30^{\circ}) = \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
3. \( \cos(\frac{19\pi}{3}) \): \( \frac{19\pi}{3} = 6\pi + \frac{\pi}{3} \). \( \cos(\frac{19\pi}{3}) = \cos(6\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \)

Подставим найденные значения в исходное выражение:

\[ -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \]

Ответ: \( -\frac{1}{2} \).