23. Выяснить, при каких значениях x производная отрицательна, если f(x)=2x/(x²+1).

\(f'(x)=\frac{2(x^2+1)-2x\cdot2x}{(x^2+1)^2}=\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}\).

Знаменатель положителен, поэтому \(f'(x)<0\) при \(1-x^2<0\), то есть \(x<-1\) или \(x>1\).

Ответ: \(x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)\).