301. а) В треугольнике АВС угол В - прямой. Найдите АВ, если tgA = √19/9, AC=10.

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( ABC \) с прямым углом \( B \) имеем:

\( \operatorname{tg} A = \frac{BC}{AB} \)

\( \sin A = \frac{BC}{AC} \)

Нам дано \( \operatorname{tg} A = \frac{\sqrt{19}}{9} \) и \( AC = 10 \).

Из \( \operatorname{tg} A = \frac{BC}{AB} \), выразим \( BC = AB \cdot \operatorname{tg} A = AB \cdot \frac{\sqrt{19}}{9} \).

По теореме Пифагора: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \).

\( 10^2 = AB^2 + (AB \cdot \frac{\sqrt{19}}{9})^2 \)

\( 100 = AB^2 + AB^2 \cdot \frac{19}{81} \)

\( 100 = AB^2 (1 + \frac{19}{81}) = AB^2 (\frac{81+19}{81}) = AB^2 \frac{100}{81} \)

\( AB^2 = 100 \cdot \frac{81}{100} = 81 \)

\( AB = \sqrt{81} = 9 \).

Ответ: 9.