308. а) В треугольнике АВС внешние углы при вершинах А и С равны 150°, АВ = 30, найдите высоту ВК.

Решение:

В треугольнике \( ABC \) внешние углы при вершинах \( A \) и \( C \) равны \( 150° \).

Значит, внутренние углы \( \angle A = 180° - 150° = 30° \) и \( \angle C = 180° - 150° = 30° \).

Так как \( \angle A = \angle C \), треугольник \( ABC \) равнобедренный с \( AB = BC = 30 \).

Высота \( BK \) проведена к основанию \( AC \).

В равнобедренном треугольнике высота \( BK \) является медианой, поэтому \( AK = KC \).

Также \( BK \) является биссектрисой угла \( B \), но нам это не понадобится.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABK \) (где \( \angle AKB = 90° \)).

У нас есть гипотенуза \( AB = 30 \) и угол \( \angle A = 30° \).

Мы хотим найти высоту \( BK \), которая является противолежащим катетом к углу \( A \).

\( \sin A = \frac{BK}{AB} \)

\( \sin 30° = \frac{BK}{30} \)

\( \frac{1}{2} = \frac{BK}{30} \)

\( BK = \frac{30}{2} = 15 \).

Ответ: 15.