б) В треугольнике АВС внешние углы при вершинах А и С равны 150°, биссектриса ВК = 5, АС = 2√75. Найдите ВС.

Решение:

В треугольнике \( ABC \) внешние углы при вершинах \( A \) и \( C \) равны \( 150° \).

Значит, внутренние углы \( \angle A = 180° - 150° = 30° \) и \( \angle C = 180° - 150° = 30° \).

Так как \( \angle A = \angle C \), треугольник \( ABC \) равнобедренный с \( AB = BC \).

Биссектриса \( BK \) проведена к основанию \( AC \). В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является также высотой и медианой.

Значит, \( BK \perp AC \) и \( AK = KC \).

\( AC = 2\sqrt{75} = 2\sqrt{25 \cdot 3} = 2 \cdot 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3} \).

\( AK = KC = \frac{AC}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \).

Мы имеем прямоугольный треугольник \( BKC \) (так как \( BK \) — высота).

В \( \triangle BKC \): \( BK = 5 \) (биссектриса, она же высота), \( KC = 5\sqrt{3} \).

По теореме Пифагора найдём \( BC \):

\( BC^2 = BK^2 + KC^2 \)

\( BC^2 = 5^2 + (5\sqrt{3})^2 \)

\( BC^2 = 25 + (25 \cdot 3) \)

\( BC^2 = 25 + 75 = 100 \)

\( BC = \sqrt{100} = 10 \).

Ответ: 10.