307. а) В равнобедренном треугольнике АВС внешний угол при основании АС равен 150°, а медиана ВМ = 10. Найдите боковую сторону треугольника.

Решение:

В равнобедренном треугольнике \( ABC \) с \( AB = BC \), внешний угол при основании \( A \) равен \( 150° \).

Внутренний угол \( \angle A = 180° - 150° = 30° \).

Так как треугольник равнобедренный, \( \angle C = \angle A = 30° \).

Сумма углов треугольника \( \angle B = 180° - (\angle A + \angle C) = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120° \).

Медиана \( BM \) в равнобедренном треугольнике является также высотой и биссектрисой.

Значит, \( \angle ABM = \angle CBM = \frac{120°}{2} = 60° \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( AMB \) (или \( CMB \)), где \( BM = 10 \) (высота).

В \( \triangle CMB \): \( \angle CMB = 90° \), \( BM = 10 \), \( \angle CBM = 60° \).

\( \cos(\angle CBM) = \frac{BM}{BC} \)

\( \cos(60°) = \frac{10}{BC} \)

\( \frac{1}{2} = \frac{10}{BC} \)

\( BC = 10 \cdot 2 = 20 \).

Так как \( AB = BC \), то \( AB = 20 \).

Ответ: 20.