б) В треугольнике АВС угол В - прямой. Найдите AC, если sin C = 5/7, BC = √24.

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( ABC \) с прямым углом \( B \) имеем:

\( \sin C = \frac{AB}{AC} \)

\( \cos C = \frac{BC}{AC} \)

Из \( \triangle ABC \) по теореме Пифагора: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \).

Нам дано \( \sin C = \frac{5}{7} \) и \( BC = \sqrt{24} \).

Из \( \sin^2 C + \cos^2 C = 1 \), найдём \( \cos C \):

\( \cos^2 C = 1 - \sin^2 C = 1 - (\frac{5}{7})^2 = 1 - \frac{25}{49} = \frac{24}{49} \)

\( \cos C = \sqrt{\frac{24}{49}} = \frac{\sqrt{24}}{7} \).

Так как \( \cos C = \frac{BC}{AC} \), то \( AC = \frac{BC}{\cos C} = \frac{\sqrt{24}}{\frac{\sqrt{24}}{7}} = 7 \).

Ответ: 7.