303. а) В треугольнике АВС угол В равен 120°, медиана ВМ = 64 одновременно является высотой треугольника. Найдите длину стороны АВ.

Решение:

В треугольнике \( ABC \) медиана \( BM \) является высотой. Это возможно только в равнобедренном треугольнике, где \( AB = BC \).

Если \( BM \) — высота, то \( \angle AMB = 90° \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( AMB \). У нас есть медиана \( BM = 64 \).

Так как \( BM \) — медиана, то \( AM = MC \).

Угол \( \angle ABM = \angle CBM \) (так как \( BM \) — медиана и высота, то она является и биссектрисой).

В треугольнике \( ABC \) \( \angle B = 120° \), следовательно \( \angle ABM = \angle CBM = \frac{120°}{2} = 60° \).

В прямоугольном треугольнике \( AMB \) имеем:

\( \cos(\angle ABM) = \frac{BM}{AB} \)

\( \cos(60°) = \frac{64}{AB} \)

\( \frac{1}{2} = \frac{64}{AB} \)

\( AB = 64 \cdot 2 = 128 \).

Ответ: 128.