507. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: б) 1 √5-√3+2

б) Освободимся от иррациональности в знаменателе дроби:

$$ \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3} + 2} $$

Домножим числитель и знаменатель на $$(\sqrt{5} - \sqrt{3} - 2)$$:

$$ \frac{1}{(\sqrt{5} - \sqrt{3} + 2)} \cdot \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3} - 2)}{(\sqrt{5} - \sqrt{3} - 2)} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3} - 2}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 - 4} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3} - 2}{5 - 2\sqrt{15} + 3 - 4} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3} - 2}{4 - 2\sqrt{15}} $$

Домножим числитель и знаменатель на $$(4 + 2\sqrt{15})$$:

$$ \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3} - 2)(4 + 2\sqrt{15})}{(4 - 2\sqrt{15})(4 + 2\sqrt{15})} = \frac{4\sqrt{5} + 2\sqrt{75} - 4\sqrt{3} - 2\sqrt{45} - 8 - 4\sqrt{15}}{16 - 4 \cdot 15} = \frac{4\sqrt{5} + 10\sqrt{3} - 4\sqrt{3} - 6\sqrt{5} - 8 - 4\sqrt{15}}{-44} = \frac{-2\sqrt{5} + 6\sqrt{3} - 8 - 4\sqrt{15}}{-44} = \frac{-\sqrt{5} + 3\sqrt{3} - 4 - 2\sqrt{15}}{-22} = \frac{\sqrt{5} - 3\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{15}}{22} $$

Ответ: $$\frac{\sqrt{5} - 3\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{15}}{22}$$