3.6.15. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС боковая сторона АВ равна 2√10/7. Найдите высоту, проведённую к основанию. cos A = 2√10/7

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, боковая сторона AB = 2√10/7, $$cos \, A = \frac{2\sqrt{10}}{7}$$. Найдем высоту, проведенную к основанию.

Проведём высоту BH к основанию AC. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, и биссектрисой. Значит, AH = HC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. $$cos \, A = \frac{AH}{AB}$$.

$$AH = AB \cdot cos \, A = \frac{2\sqrt{10}}{7} \cdot \frac{2\sqrt{10}}{7} = \frac{4 \cdot 10}{49} = \frac{40}{49}$$.

По теореме Пифагора: $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$.

$$BH^2 = AB^2 - AH^2 = (\frac{2\sqrt{10}}{7})^2 - (\frac{40}{49})^2 = \frac{4 \cdot 10}{49} - \frac{1600}{2401} = \frac{40}{49} - \frac{1600}{2401} = \frac{40 \cdot 49}{49 \cdot 49} - \frac{1600}{2401} = \frac{1960 - 1600}{2401} = \frac{360}{2401}$$.

$$BH = \sqrt{\frac{360}{2401}} = \frac{\sqrt{360}}{49} = \frac{\sqrt{36 \cdot 10}}{49} = \frac{6\sqrt{10}}{49}$$.

Ответ: $$BH = \frac{6\sqrt{10}}{49}$$.