3.6.13. В треугольнике АВС АС=BC, AB-30, tg A = 4/3. Найдите АС.

Так как AC = BC, треугольник ABC равнобедренный. $$AB = 30$$, $$tg \, A = \frac{4}{3}$$.

Проведём высоту CH к стороне AB. В равнобедренном треугольнике высота также является медианой и биссектрисой. Значит, $$AH = \frac{AB}{2} = \frac{30}{2} = 15$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. $$tg \, A = \frac{CH}{AH} = \frac{4}{3}$$.

$$\frac{CH}{15} = \frac{4}{3}$$.

$$CH = \frac{4 \cdot 15}{3} = 20$$.

По теореме Пифагора: $$AC^2 = AH^2 + CH^2$$.

$$AC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$$.

$$AC = \sqrt{625} = 25$$.

Ответ: $$AC = 25$$.