3.6.12. В треугольнике АВС АС = BC = 15, tg A = 4/3. Найдите АВ.

Так как AC = BC, треугольник ABC является равнобедренным. $$tg \, A = \frac{4}{3}$$.

Проведём высоту CH к стороне AB. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, и биссектрисой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. $$tg \, A = \frac{CH}{AH} = \frac{4}{3}$$.

Пусть $$AH = 3x$$, тогда $$CH = 4x$$.

По теореме Пифагора: $$AC^2 = AH^2 + CH^2$$.

$$15^2 = (3x)^2 + (4x)^2$$.

$$225 = 9x^2 + 16x^2 = 25x^2$$.

$$x^2 = \frac{225}{25} = 9$$.

$$x = 3$$.

Тогда $$AH = 3 \cdot 3 = 9$$, следовательно, $$AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 9 = 18$$.

Ответ: $$AB = 18$$.