3.6.17. В треугольнике АВС АС = ВС, высота СН равна 4,5, сов А = √15/4. Найдите АС.

В треугольнике ABC, где AC = BC, треугольник равнобедренный. Высота CH = 4,5, $$cos \, A = \frac{\sqrt{15}}{4}$$.

Проведем высоту CH к стороне AB. В равнобедренном треугольнике высота также является медианой и биссектрисой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. $$cos \, A = \frac{AH}{AC}$$.

$$AH = AC \cdot cos \, A$$.

$$CH = 4,5$$.

По теореме Пифагора: $$AC^2 = AH^2 + CH^2$$.

$$AC^2 = (AC \cdot cos \, A)^2 + CH^2$$.

$$AC^2 = (AC \cdot \frac{\sqrt{15}}{4})^2 + 4,5^2$$.

$$AC^2 = AC^2 \cdot \frac{15}{16} + 20,25$$.

$$AC^2 - AC^2 \cdot \frac{15}{16} = 20,25$$.

$$AC^2 \cdot (1 - \frac{15}{16}) = 20,25$$.

$$AC^2 \cdot \frac{1}{16} = 20,25$$.

$$AC^2 = 20,25 \cdot 16 = 324$$.

$$AC = \sqrt{324} = 18$$.

Ответ: $$AC = 18$$.