3.6.10. В треугольнике АВС угол C равен 90°, СН высота, АВ = 15. tg A = Найдите AH.

В прямоугольном треугольнике тангенс угла - это отношение противолежащего катета к прилежащему. В данном случае: $$tg \, A = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{3}$$.

Пусть $$BC = x$$, тогда $$AC = 3x$$.

По теореме Пифагора: $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$.

Подставим известные значения: $$15^2 = (3x)^2 + x^2$$.

$$225 = 9x^2 + x^2 = 10x^2$$.

$$x^2 = \frac{225}{10} = 22,5$$.

$$x = \sqrt{22,5}$$.

Тогда $$BC = \sqrt{22,5}$$, $$AC = 3\sqrt{22,5}$$.

Рассмотрим треугольник АВС и АНС. У них общий угол А и угол АНС прямой, следовательно, они подобны по двум углам. Значит, можем составить пропорцию:

$$\frac{AC}{AB} = \frac{AH}{AC}$$.

$$AH = \frac{AC^2}{AB} = \frac{(3\sqrt{22,5})^2}{15} = \frac{9 \cdot 22,5}{15} = \frac{202,5}{15} = 13,5$$.

Ответ: $$AH = 13,5$$.