3.6.16. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 24, sin A = 5√41/41. Найдите высоту СН.

В треугольнике ABC, где AC = BC, треугольник равнобедренный. AB = 24, $$sin \, A = \frac{5\sqrt{41}}{41}$$.

Проведем высоту CH к стороне AB. В равнобедренном треугольнике высота также является медианой и биссектрисой. Значит, AH = HB = 12.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. $$sin \, A = \frac{CH}{AC}$$.

$$AC = \frac{CH}{sin \, A}$$.

По теореме Пифагора: $$AC^2 = AH^2 + CH^2$$.

$$(\frac{CH}{sin \, A})^2 = AH^2 + CH^2$$.

$$(\frac{CH}{\frac{5\sqrt{41}}{41}})^2 = 12^2 + CH^2$$.

$$\frac{CH^2}{\frac{25 \cdot 41}{41^2}} = 144 + CH^2$$.

$$\frac{41CH^2}{25} = 144 + CH^2$$.

$$41CH^2 = 144 \cdot 25 + 25CH^2$$.

$$16CH^2 = 144 \cdot 25$$.

$$CH^2 = \frac{144 \cdot 25}{16} = 9 \cdot 25 = 225$$.

$$CH = \sqrt{225} = 15$$.

Ответ: $$CH = 15$$.