31. В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos A = 2√2/3, ВС = 3. Найдите АВ.

Косинус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. $$cos A = \frac{AC}{AB}$$.

Найдем АС. По теореме Пифагора: $$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2}$$. Следовательно, $$cos A = \frac{\sqrt{AB^2 - BC^2}}{AB}$$. Возведем в квадрат обе части: $$cos^2 A = \frac{AB^2 - BC^2}{AB^2} = 1 - \frac{BC^2}{AB^2}$$.

Выразим AB^2: $$\frac{BC^2}{AB^2} = 1 - cos^2 A = 1 - \frac{4 \cdot 2}{9} = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$$.

$$AB^2 = 9 \cdot BC^2 = 9 \cdot 3^2 = 9 \cdot 9 = 81$$.

$$AB = \sqrt{81} = 9$$.

Ответ: 9